Question

8．如图，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（-1，0）、（0，-3）．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标．
（3）在第二问的条件下，射线DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解；
（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理列式表示出DC²与DE²，然后解方程求出m的值，即可得到点D的坐标；
（3）根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与CD是对应边；②OC与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过点P作PG⊥y轴于点G，分别求出DG、PG的长度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0）、B（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故抛物线的函数解析式为y=x²-2x-3；

（2）令x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
则点C的坐标为（3，0），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴点E坐标为（1，-4），
设点D的坐标为（0，m），
∵DC²=OD²+OC²=m²+3²，DE²=DF²+EF²=（m+4）²+1²，
∵DC=DE，
∴m²+9=m²+8m+16+1，
解得m=-1，
∴点D的坐标为（0，-1）；

（3）作EF⊥y轴于F．
∵点C（3，0），D（0，-1），E（1，-4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根据勾股定理，CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在△COD和△DFE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CO=DF}\\{∠COD=∠DFE}\\{DO=EF}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°-90°=90°，
∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴$\frac{OC}{DC}$=$\frac{OD}{DP}$，
即 $\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{1}{DP}$，
解得DP=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则 $\frac{DG}{DF}$=$\frac{PG}{EF}$=$\frac{PD}{DE}$，
即 $\frac{DG}{3}$=$\frac{PG}{1}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{3}}{\sqrt{10}}$，
解得DG=1，PG=$\frac{1}{3}$，
OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（ $\frac{1}{3}$，-2）；
②OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴$\frac{OC}{DP}$=$\frac{OD}{DC}$，
即 $\frac{3}{DP}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
解得DP=3 $\sqrt{10}$，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则 $\frac{DG}{DF}$=$\frac{PG}{EF}$=$\frac{DP}{DE}$，
即 $\frac{DG}{3}$=$\frac{PG}{1}$ $\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$=，
解得DG=9，PG=3，
OG=OD+DG=1+9=10，
所以，点P的坐标是（3，-10），
综上所述，满足条件的点P共有2个，其坐标分别为（ $\frac{1}{3}$，-2）、（3，-10）．

点评 本题考查了二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形对应边成比例的性质，（3）题稍微复杂，一定要注意分相似三角形的对应边的不同，点P在点D的左右两边的情况讨论求解．