Question

6．如图1，⊙O为△ABC的外接圆，点D在圆上，AD为△ABC中∠CAB的外角平分线．
（1）如图1，证明：DB=DC；
（2）如图2，延长DA交BC的延长线于M点，△CDM的内心P在$\widehat{AC}$上，若tan∠M=$\frac{3}{4}$，求tan∠DCB的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，只要证明∠DBC=∠3即可解决问题；
（2）如图2中，作PF⊥BM于F，PE⊥DM于E，连接PD、PM、PC、PA．首先证明MA=MC，作AH⊥CM于H，由tan∠AMC=$\frac{3}{4}$=$\frac{AH}{HM}$，设AH=3k，HM=4k，则AM=CM=5k，CF=k，推出tan∠ACH=$\frac{AH}{CH}$=$\frac{3k}{k}$=3，由∠CAM=∠DBC=∠DCB=∠ACB，可得tan∠DCB=3．

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠2+∠DAC=180°，∠DBC+∠DAC=180°，
∴∠2=∠DBC，
∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠DBC=∠3，
∴DB=DC．

（2）解：如图2中，作PF⊥BM于F，PE⊥DM于E，连接PD、PM、PC、PA．

∵P是△DCM的内心，
∴∠PMA=∠PMC，∠PDA=∠PDC，
∴PE=PF，PA=PC，
易证△PEA≌△PFC，△PEM≌△PFM，
∴AE=CF，EM=FM，
∴AM=CM，
作AH⊥CM于H，
∵tan∠AMC=$\frac{3}{4}$=$\frac{AH}{HM}$，
设AH=3k，HM=4k，则AM=CM=5k，CF=k，
∴tan∠ACH=$\frac{AH}{CH}$=$\frac{3k}{k}$=3，
∵∠CAM=∠DBC=∠DCB=∠ACB，
∴tan∠DCB=3．

点评 本题考查三角形的内心、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．