Question

9．如图示直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为$\frac{2}{3}$π．

Answer 1

分析 先利用一次函数的解析式可确定A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），再利用正切的定义求出∠BAO=60°，利用勾股定理计算出AB=2，然后根据弧长公式计算．

解答 解：当y=0时，$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$=0，解得x=-1，则A（-1，0），
当x=0时，y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，则B（0，$\sqrt{3}$），
在Rt△OAB中，∵tan∠BAO=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°，
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度=$\frac{60•π•2}{180}$=$\frac{2}{3}$π．
故答案为$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换：熟练掌握旋转的性质，会计算一次函数与坐标轴的交点坐标．