Question

11．如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交弧BC于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC=∠OFC．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）若DE=1，∠ABC=30°．①求⊙O的半径；②求sin∠BAD的值．
（3）若四边形ACFD是平行四边形，求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明CF为⊙O的切线，只要证明即OC⊥CF即可；
（2）①设⊙O的半径为r．由OD⊥BC 且∠ABC=30°，可得OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$r，又DE=1，且OE=OD+DE，列出方程即可解决问题；
②作DH⊥AB于H，求出DH、AD即可解决问题；
（3）设⊙O的半径为r．想办法用r表示DH、AD即可解决问题；

解答 解：（1）连接CO．
∵D为BC的中点，且OB=OC，
∴OD⊥BC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∵∠OBC=∠OFC，
∴∠OCB=∠OFC，
∵OD⊥BC，
∴∠DCF+∠OFC=90°．
∴∠DCF+∠OCB=90°．即OC⊥CF，
∴CF为⊙O的切线．

（2）①设⊙O的半径为r．
∵OD⊥BC 且∠ABC=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$r，
又∵DE=1，且OE=OD+DE，
∴$r=1+\frac{1}{2}r$，解得：r=2，
②作DH⊥AB于H，在Rt△ODH中，∠DOH=60°，OD=1．
∴DH=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，OH=$\frac{1}{2}$，
在Rt△DAH中，∵AH=AO+OH=$\frac{5}{2}$，
∴由勾股定理：AD=$\sqrt{7}$．
∴$sin∠BAD=\frac{DH}{AD}=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．

（3）设⊙O的半径为r．
∵O、D分别为AB、BC中点，
∴AC=2OD，
又∵四边形ACFD是平行四边形，
∴DF=AC=2OD，
∵∠OBC=∠OFC，∠CDF=∠ODB=90°，
∴△ODB∽△CDF，
∴$\frac{OD}{CD}=\frac{BD}{DF}$，
∴$\frac{OD}{BD}=\frac{BD}{2OD}$，解得：$BD=\sqrt{2}OD$，
∴在Rt△OBD中，OB=r，
∴$OD=\frac{{\sqrt{3}}}{3}r，BD=\frac{{\sqrt{6}}}{3}r$，
∴$OH=\frac{1}{3}r，DH=\frac{{\sqrt{2}}}{3}r$，
∴在Rt△DAH中，∵AH=AO+OH=$\frac{4}{3}r$，
∴由勾股定理：AD=$\sqrt{2}r$，
∴$sin∠BAD=\frac{DH}{AD}=\frac{{\sqrt{2}r}}{{3\sqrt{2}r}}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、解直角三角形、平行四边形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．