Question

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），设PQ的长为y，当t为何值时，y取得最小值？y的最小值是多少？

Answer 1

分析 过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC得$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，由此用t表示线段PH、QH，利用勾股定理求出线段PQ，然后用二次函数知识解决．

解答 解：作PH⊥AC垂足为H．
在RT△ABC中，∵AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5
∵∠PHA=∠C=90°，
∴PH∥BC，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{PH}{3}$=$\frac{AH}{4}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$（5-t），AH=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴QH=AH-AQ或AQ-AH
∴QH=|$\frac{4}{5}$（5-t）-t|=|4-$\frac{9}{5}$t|
∴y=$\sqrt{P{H}^{2}+Q{H}^{2}}$=$\sqrt{[\frac{3}{5}（5-t）]^{2}+（4-\frac{9}{5}t）^{2}}$=$\sqrt{\frac{18}{5}{t}^{2}-18t+25}$=$\sqrt{\frac{18}{5}（t-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{5}{2}}$，
∴t=$\frac{5}{2}$时，y_最小值=$\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、以及二次函数的最值问题，把最值问题转化为二次函数问题，是解决问题的关键．