Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB边为直径作⊙O，交BC边于点D，过点D作，DF⊥AC于点F
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）已知：⊙O的半径为5，DC=2

5

，求CF的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）求出OD和AC平行，推出OD垂直DF，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出DF，根据勾股定理求出CF即可．

解答：（1）证明：连接OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD为半径，
∴DF为⊙O的切线；

（2）解：连接AD，
∵：⊙O的半径为5，DC=2

5

，
∴BD=DC=2

5

，AB=2×5=10
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=

102-(2 5 )2

=4

5

，
在Rt△ADC中，AB=AC=10，CD=2

5

，由三角形面积公式得：10×DF=4

5

×2

5

，
∴DF=4，
在Rt△DFCB中，CD=2

5

，DF=4，由勾股定理得：CF=

(2 5 )2-42

=2．

点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质和判定，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，是一定比较好的题目，难度适中．