Question

如图，在⊙O中，点P为直径BA延长线上一点，直线PD切⊙O于点D，过点B作BH⊥PD，垂足为H，BH交⊙O于点C，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABH；
（2）如果AB=10，BC=6，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，当E是

AB

的中点，DE交AB于点F，求DE•DF的值．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OD易证OD∥BH，则∠ODB=∠DBH，然后根据等边对等角证明∠ODB=∠OBD，从而证明；
（2）证明四边形ODHG是矩形，在Rt△DBH中利用勾股定理即可求解；
（3）连接AD，AE，证明△ADE∽△FDB，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得．

解答：（1）证明：连接OD． 
∵PD是⊙O的切线，
∴OD⊥PD．
又∵BH⊥PD，
∴∠PDO=∠PHB=90°，
∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBH，
∴BD平分∠ABH． 

（2）解：过点O作OG⊥BC，G为垂足，
则BG=CG=3，
在Rt△OBG中，OG=

OB2-BG2

=4．
∵∠ODH=∠DHG=∠HGO=90°，
∴四边形ODHG是矩形． 
∴OD=GH=5，DH=OG=4，BH=8．
在Rt△DBH中，BD=4

5

；

（3）解：连接AD，AE，
则∠AED=∠ABD，∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，AD=2

5

．
又∵E是

AB

的中点，即

AE

=

BE

，∴∠ADE=∠EDB，
∴△ADE∽△FDB．
即

DE

DB

=

AD

FD

，
∴DE•DF=DB•AD=40．

点评：本题综合考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点的运用．此题是一个大综合题，难度较大．