Question

已知抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线C₂的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求平移后的抛物线C₂的解析式；
（3）直线y=-

3

5

x+m与抛物线C₁、C₂的对称轴分别交于点E、F，设由点E、P、F、M构成的四边形的面积为s，试用含m的代数式表示s．

Answer 1

（1）由抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a-5=a（x+2）²-5得
∴顶点P的坐标为（-2，-5）
∵点B（1，0）在抛物线C₁上，∴a=

5

9

∴抛物线C₁的解析式为y=

5

9

x2+

20

9

x-

25

9

；

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称
∴PM过点B，且PB=MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG=PH=5，BG=BH=3
∴顶点M的坐标为（4，5）
∴抛物线C₂的表达式为y=-

5

9

（x-4）²+5；

（3）依题意得，E（-2，

6

5

+m），F（4，-

12

5

+m），HG=6
①当E点的纵坐标小于-5时，
PE=-5-(

6

5

+m)=-

31

5

-m，MF=5-(-

12

5

+m)=

37

5

-m，
∴s=

1

2

(-

31

5

-m+

37

5

-m)×6=-6m+

18

5

；
②当E点的纵坐标大于-5且F点的纵坐标小于5时，
PE=

6

5

+m-(-5)=

31

5

+m，MF=5-(-

12

5

+m)=

37

5

-m，
∴s=

204

5

；
③当F点的纵坐标大于5时，
PE=

6

5

+m-(-5)=

31

5

+m，MF=-

12

5

+m-5=-

37

5

+m
∴s=6m-

18

5

．