Question

12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=2$\sqrt{3}$，∠DAC=30°，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．
（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在RT△DEB和RT△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△DFC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
（2）∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2$\sqrt{3}$，∠DAC=30°，
∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，
∵AC²=AD²+CD²，
∴4a²=a²+（2$\sqrt{3}$）²，
∵a＞0，
∴a=2，
∴AC=2a=4．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30°性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，属于中考常考题型．