Question

4．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=5，AD=$\sqrt{2}$时，求线段BG的长．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等腰直角三角形和ADEF是正方形得到判断△ABD≌△ACF的条件；
（2）由全等得到∠BGC=90°，利用勾股定理计算即可．

解答 解：（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
∵ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠BAC=∠DAF，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF．
（2）①由（1）全等得：∠ABD=∠ACE，
∴∠GBC+∠GCB=∠GBC+∠ACF+∠ACB=（∠ABG+∠GBC）+∠ACB=45°+45°=90°，
∴∠BGC=90°，
∴BG⊥CF．
②如图3，

过D作DH⊥AB于H，AH=DH=AD÷$\sqrt{2}$=1，
∴BH=AB-AH=4，
∴BD=$\sqrt{B{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
延长AD交BC于P，
∴DP⊥BC，BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$（AD平分∠BAC，AB=AC，等腰三角形三线合一）
由∠BGC=90°，
∴∠BPD=∠BGC，
∵∠DBP=∠CBG，
∴△DBP∽△CBG，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BP}{BG}$，
∵BC=$\sqrt{2}$AB=5$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{17}}{5\sqrt{2}}=\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{BG}$
∴BG=$\frac{25\sqrt{17}}{17}$．

点评 此题是几何变换的综合题，主要考查等腰直角三角形和正方形的性质，平行线分线段成比例定理，判断出全等是解决本题的关键．