题目内容
9．点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
分析 （1）先证明△ABQ≌△CAP，从而得到∠BAQ=∠ACP，然后利用三角形的外角的性质求解即可；
（2）先证明△ACQ≌△CBP，从而得到∠CAQ=∠BCP然后依据∠CAM+∠ACM=∠BCP+∠ACM求解即可．
解答 解：（1）∠CMQ=60°不变．
∵△ABC为等边三角形，
∴CA=AB，∠CAP=∠ABQ=60°．
∵AP=BQ，
∴△CAP≌△ABQ．
∴∠ACP=∠BAQ．
∴∠CMQ=∠ACM+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=60°．
（2）∠CMQ=120°不变
∵△ABC为等边三角形，
∴CA=AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°．
∴∠ACQ=∠CBP=120°．
∵AP=BQ，
∴CQ=BP．
∴△ACQ≌△CBP．
∴∠CAQ=∠BCP．
∴∠CMQ=∠CAM+∠ACM=∠BCP+∠ACM=180°-60°=120°．
点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC=110°，BC=18，则∠PAQ=40°，则△APQ的周长为18．
求值：如图，实数a，b，c在数轴上的对应点分别为A、B、C（O为原点），求$\sqrt{（a+b）^{2}}$-|c-b|-|a+c|的值．