Question

【题目】已知抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，其中m是常数．

（1）求证：不论m为何值，该抛物线与z轴一定有两个公共点；

（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝，请求出该抛物线的顶点坐标．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)顶点为（，﹣）

【解析】

（1）根据题意，由根的判别式△＝b2﹣4ac＞0得到答案；

（2）结合题意，根据对称轴x＝﹣得到m＝2，即可得到抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6，再将抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6变形为y＝x2﹣5x+6＝（x﹣）2﹣，即可得到答案.

（1）证明：a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝m2+m，

∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2+m）＝1＞0，

∴抛物线与x轴有两个不相同的交点．

（2）解：∵y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，

∴对称轴x＝﹣＝＝，

∵对称轴为直线x＝，

∴＝，

解得m＝2，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6，

∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣）2﹣，

∴顶点为（，﹣ ）．