Question

16．设二次函数y₁=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0，x₁≠x₂）的图象与一次函数y₂=dx+e（d≠0）的图象交于点（x₁，0），若函数y=y₁+y₂的图象与x轴仅有一个交点，则（　　）

• A． a（x₁-x₂）=d
• B． a（x₂-x₁）=d
• C． a（x₁-x₂）²=d
• D． a（x₁+x₂）²=d

Answer 1

分析 首先根据一次函数y₂=dx+e（d≠0）的图象经过点（x₁，0），可得y₂=d（x-x₁），y=y₁+y₂=ax²+（d-ax₂-ax₁）x+ax₁x₂-dx₁；然后根据函数y=y₁+y₂的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y₁+y₂与x轴的交点为（x₁，0），再结合对称轴公式求解．

解答 解：∵一次函数y₂=dx+e（d≠0）的图象经过点（x₁，0），
∴dx₁+e=0，
∴y₂=d（x-x₁），
∴y=y₁+y₂=a（x-x₁）（x-x₂）+d（x-x₁）
=ax²-axx₂-ax₁x+ax₁x₂+dx-dx₁
=ax²+（d-ax₂-ax₁）x+ax₁x₂-dx₁
∵当x=x₁时，y₁=0，y₂=0，
∴当x=x₁时，y=y₁+y₂=0，
∵y=ax²+（d-ax₂-ax₁）x+ax₁x₂-dx₁与x轴仅有一个交点，
∴y=y₁+y₂的图象与x轴的交点为（x₁，0）
∴$-\frac{d-a{x}_{2}-a{x}_{1}}{2a}$=x₁，
化简得：a（x₂-x₁）=d
故选：B．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y₁+y₂与x轴的交点为（x₁，0）．