题目内容
（2012•南开区二模）如图1，点C、B分别为抛物线C1：y1=x2+1，抛物线C2：y2=a2x2+b2x+c2的顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，且AB=BD．
（1）求点A的坐标：
（2）如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”．其他条件不变，求CD的长和a2的值；
（3）如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=4x2+b1x+c1”，其他条件不变，求b1+b2的值
（1）求点A的坐标：
（2）如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”．其他条件不变，求CD的长和a2的值；
（3）如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=4x2+b1x+c1”，其他条件不变，求b1+b2的值
2
| 3 |
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（直接写结果）．| 3 |
分析：（1）连接AC、BC，根据二次函数图象的对称性可得AC=BC，BC=BD，再根据已知条件AB=BD，可以证明得到△ABC是等边三角形，所以∠ACE=30°，然后设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长，再根据抛物线C1：y1=x2+1求出点C的坐标，从而表示出点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线C1的解析式，然后解关于m的一元二次方程求出m的值，代入即可得到点A的坐标；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x-h1）2+k1，然后表示出C的坐标，再设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长度，从而得到点A的坐标，把点A的坐标代入抛物线C1，整理后解关于m的一元二次方程，再根据（1）的结论即可求出CD的长；根据CD的长求出CE的长度，然后表示出点B的坐标，根据点B在是抛物线C2的顶点，从而得到抛物线C2的顶点式解析式，然后根据点C在抛物线C2上，把点C的坐标代入抛物线C2的解析式，整理求解即可得到a2的值；
（3）根据（1）（2）的结论可知，a2=-a1，然后利用两抛物线的对称轴表示出CD的长度，再根据（1）（2）的求解过程可得CD=2×
，然后代入进行计算即可得解．
（2）过点C作CE⊥AB于点E，设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x-h1）2+k1，然后表示出C的坐标，再设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长度，从而得到点A的坐标，把点A的坐标代入抛物线C1，整理后解关于m的一元二次方程，再根据（1）的结论即可求出CD的长；根据CD的长求出CE的长度，然后表示出点B的坐标，根据点B在是抛物线C2的顶点，从而得到抛物线C2的顶点式解析式，然后根据点C在抛物线C2上，把点C的坐标代入抛物线C2的解析式，整理求解即可得到a2的值；
（3）根据（1）（2）的结论可知，a2=-a1，然后利用两抛物线的对称轴表示出CD的长度，再根据（1）（2）的求解过程可得CD=2×
| ||
| a1 |
解答：解：（1）如图，连接AC、BC，设直线AB交y轴于点E，
∵AB∥x轴，CD∥x轴，C、B为抛物线C1、C2的顶点，
∴AC=BC，BC=BD，
∵AB=BD，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACE=30°，
设AE=m，
则CE=
AE=
m，
∵y1=x2+1，
∴点C的坐标为（0，1），
∴点A的坐标为（-m，1+
m），
∵点A在抛物线C1上，
∴（-m）2+1=1+
m，
整理得m2-
m=0，
解得m1=
，m2=0（舍去），
∴点A的坐标为（-
，4）；
（2）如图2，连接AC、BC，过点C作CE⊥AB于点E，
设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x-h1）2+k1，
∴点C的坐标为（h1，k1），
设AE=m，
∴CE=
m，
∴点A的坐标为（h1-m，k1+
m），
∵点A在抛物线y1=2（x-h1）2+k1上，
∴2（h1-m-h1）2+k1=k1+
m，
整理得，2m2=
m，
解得m1=
，m2=0（舍去），
由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，
∵AB=2AE=
，
∴CD=
，
即CD的长为
，
根据题意得，CE=
BC=
×
=
，
∴点B的坐标为（h1+
，k1+
），
又∵点B是抛物线C2的顶点，
∴y2=a2（x-h1-
）2+k1+
，
∵抛物线C2过点C（h1，k1），
∴a2（h1-h1-
）2+k1+
=k1，
整理得
a2=-
，
解得a2=-2，
即a2的值为-2；
（3）根据（2）的结论，a2=-a1，
CD=-
-（-
）=
+
=
，
根据（1）（2）的求解，CD=2×
，
∴b1+b2=2
．
∵AB∥x轴，CD∥x轴，C、B为抛物线C1、C2的顶点，
∴AC=BC，BC=BD，
∵AB=BD，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACE=30°，
设AE=m，
则CE=
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| 3 |
∵y1=x2+1，
∴点C的坐标为（0，1），
∴点A的坐标为（-m，1+
| 3 |
∵点A在抛物线C1上，
∴（-m）2+1=1+
| 3 |
整理得m2-
| 3 |
解得m1=
| 3 |
∴点A的坐标为（-
| 3 |
（2）如图2，连接AC、BC，过点C作CE⊥AB于点E，
设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x-h1）2+k1，
∴点C的坐标为（h1，k1），
设AE=m，
∴CE=
| 3 |
∴点A的坐标为（h1-m，k1+
| 3 |
∵点A在抛物线y1=2（x-h1）2+k1上，
∴2（h1-m-h1）2+k1=k1+
| 3 |
整理得，2m2=
| 3 |
解得m1=
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| 2 |
由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，
∵AB=2AE=
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∴CD=
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即CD的长为
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根据题意得，CE=
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| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∴点B的坐标为（h1+
| ||
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| 3 |
| 2 |
又∵点B是抛物线C2的顶点，
∴y2=a2（x-h1-
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵抛物线C2过点C（h1，k1），
∴a2（h1-h1-
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| 2 |
整理得
| 3 |
| 4 |
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| 2 |
解得a2=-2，
即a2的值为-2；
（3）根据（2）的结论，a2=-a1，
| 1 |
| 2 |
| b2 |
| 2a2 |
| b1 |
| 2a1 |
| b2 |
| 2a1 |
| b1 |
| 2a1 |
| b1+b2 |
| 2a1 |
根据（1）（2）的求解，CD=2×
| ||
| a1 |
∴b1+b2=2
| 3 |
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称性，等边三角形的性质，二次函数的顶点式解析式与一般解析式之间的转化，对同学们的能力要求较高，灵活性较强，规律总结比较重要，总体而言，本题难度较大，是道难得的好题．
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