Question

6．如图，?ABCD中，O为CD的中点，连接AO并延长，交BC延长线于E，连接AC，DE．
（1）求证：四边形ACED为平行四边形；
（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED为正方形，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质求出AD=BC，AD∥BC，求出∠DAO=∠CEO，根据全等三角形的判定得出△ADO≌△ECO，推出AO=OE，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）根据平行四边形的性质求出BC=CE，求出AC=CE，∠ACB=∠ACE=90°，根据正方形的判定得出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAO=∠CEO，
∵O为CD的中点，
∴DO=CO，
在△ADO和△ECO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAO=∠CEO}\\{∠AOD=∠COE}\\{DO=OC}\end{array}\right.$
∴△ADO≌△ECO，
∴AO=OE，
∵DO=OC，
∴四边形ACED为平行四边形；

（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED为正方形，
证明：∵四边形ACED、四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD=CE，
∴BC=CE，
∵∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE，∠BAE=90°，
∴AC⊥BE，AC=CE，
∴∠ACB=∠ACE=90°，
∴四边形ACED是正方形，
即当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED为正方形，
故答案为：45°．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．