题目内容

19．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，并且OA、OC的长满足：|OA-2$\sqrt{3}$|+（OC-6）2=0．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1与x轴交于点D，求直线BB1的解析式．
（3）在直线AC上是否存在点P使PB1+PD的值最小？若存在，请找出点P的位置，并求出PB1+PD的最小值；若不存在，请说明理由．
（4）在直线AC上是否存在点P使|PD-PB|的值最大？若存在，请找出点P的位置，并求出|PD-PB|最大值．

分析 （1）由非负数的性质可求得OA和OC的长，则可得到A、C的坐标，再由矩形的性质可求得B点坐标；
（2）由轴对称的性质可知AC⊥BB1，由（1）可知A、C点的坐标，可求得直线AC的解析式，则可求得直线BB1的解析式；
（3）由B和B1关于直线AC对称可知，连接BD与直线AC交于点P，则此时PD+PB=PD+PB1，满足条件；再由折叠的性质可证明△AOD≌△CB1D，在Rt△AOD中可求得OD，则可求得CD长，在Rt△BCD中由勾股定理可求得BD的长；
（4）由三角形三边关系可知|PD-PB|＜BD，只有当P点在线段BD的延长线或反延长线上时，才有|PD-PB|=BD，显然不存在这样的点．

解答 解：（1）∵|OA-2$\sqrt{3}$|+（OC-6）2=0．
∴OA=2$\sqrt{3}$，OC=6，
∴A（0，2$\sqrt{3}$），C（6，0），
∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=2$\sqrt{3}$，
∴B（6，2$\sqrt{3}$）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
由折叠的性质可知AC⊥BB1，
∴可设直线BB1的解析式为y=$\sqrt{3}$x+m，
把B点坐标代入可得2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$+m，
解得m=-4$\sqrt{3}$，
∴直线BB1的解析式为y=$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$；
（3）由（2）可知B和B1关于直线AC对称，
如图1，连接BD交AC于点P，

则PB=PB1，
∴PD+PB=PD+PB1=BD，
∴此时PD+PB1最小，
由折叠的性质可知B1C=BC=OA=2$\sqrt{3}$，∠AOD=∠CB1D=90°，
在△AOD和△CB1D中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠C{B}_{1}C}\\{∠ADC=∠CD{B}_{1}}\\{AO={B}_{1}C}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△CB1D（AAS），
∴AD=DC，OD=DB1，
设OD=x，则DC=AD=6-x，且OA=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO2+OD2=AD2，即（2$\sqrt{3}$）2+x2=（6-x）2，解得x=2，
∴CD=AD=6-2=4，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
综上可知存在使PB1+PD的值最小的点P，PB1+PD的最小值为2$\sqrt{7}$；
（4）如图2，连接PB、PD、BD，
当p在点A时|PD-PB|最大，B与B1对称，|PD-PB|=|PD-PB1|，根据三角形三边关系|PD-PB1|小于或等于DB1，故|PD-PB1|的最大值等于DB1．
∵AB1=AB=6，
AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=4，
∴DB1=2，
∴在直线AC上，存在点P使|PD-PB|的值最大，最大值为：2．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）中掌握相互垂直的两直线的解析式的关系是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键，在（4）中注意三角形三边关系的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

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