Question

7．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，其坐标为（40，0），⊙P的半径是20，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A（0，12）、C（0，-12）、B（-18，-12），将Rt△ABC沿x轴向右平移m（0＜m＜40）个单位长度得到△DEF，使得D、F两点落在圆上，期中A、B、C三点分别与D、E、F三点对应，DE、DF分别交x轴于点H、G
（1）求Rt△ABC移动的距离m；
（2）判断直线DE与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用平移的性质结合勾股定理得出PG的长，进而得出答案；
（2）利用切线的判定方法，得出DH²+DP²=PH²，利用勾股定理逆定理得出答案．

解答 解：（1）连接DP，
∵A（0，12），C（0，-12），
∴AC⊥x轴，
∵DEF是由△ABC平移得到的，
∴DF⊥x轴，DF=AC=24，
∴DG=$\frac{1}{2}$DF=12，
在Rt△DGP中，DP=20，
∴PG=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$=16，
∴m=OG=40-16=24；

（2）直线DE与⊙P相切，
理由：设AB交x轴于点M，
∵A（0，12），B（-18，-12），C（0，-12），
∴BC=18，OA=OC=12，AC⊥x轴，
∵∠ACB=90°，
∴OM∥BC，
∴OM=$\frac{1}{2}$BC=9，
∵△DEF是由△ABC平移得到的，
∴HG=OM=9，HP=HG+GP=9+16=25，
在Rt△DGH中，DH=$\sqrt{D{G}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
∵20²+15²=25²，
∴DH²+DP²=PH²，
∴PD⊥DE，
∴直线DE与⊙P相切．

点评 此题主要考查了圆的综合以及勾股定理、切线的判定等知识，正确利用勾股定理得出PG的长是解题关键．