Question

18．在平面直角坐标系中，如果点P的纵坐标是横坐标的二倍，则称点P为“诚信点”，例如点（1，2），（-2，-4），（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），…都是“诚信点”，显然“诚信点”有无数个
（1）若点P（m，6）是反比例函数y=$\frac{n}{x}$（n为常数，n≠0）的图象上的“诚信点”，求这个反比例函数的解析式
（2）函数y=2px+q（p，q为常数）的图象上存在“诚信点”吗？若存在，请求出“诚信点”的坐标，若不存在，说明理由
（3）若二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“诚信点”，令t=b²+4a，当-2＜b＜2时，试求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据“诚信点”的定义直接列出方程求解得出m，再用待定系数法求出反比例函数的解析式；
（2）先假设存在“诚信点”设出此点的坐标为（m，2m），根据“诚信点”的定义得出2m（p-1）=-q，然后分情况讨论即可；
（3）先设出“诚信点”的坐标为（m，2m），然后代入函数解析式中得出am²+（b-2）m+1=0，由于只有一个“诚信点”，即可得出△=（b-2）²-4a=0，即：（b-2）²=4a，即可用b表示出t，最后用b的范围即可得出结论．

解答 解：（1）∵点P（m，6）是“诚信点”，
∴2m=6，
∴m=3，
∴P（3，6），
∵点P（3，6）是反比例函数y=$\frac{n}{x}$（n为常数，n≠0）的图象上，
∴n=3×6=18，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{18}{x}$；

（2）假设函数y=2px+q（p，q为常数）的图象上存在“诚信点”，
设此点坐标为（m，2m），
∴2mp+q=2m，
∴2m（p-1）=-q，
∵p，q为常数，
∴①当p-1=0时，即p=1时，q=0，此时函数y=2x图象上的点全部是“诚信点”，
②当p-1≠0时，即p≠1时，
Ⅰ、当p=0时，此时函数为y=q，“诚信点”为（$\frac{q}{2}$，q），
Ⅱ、当p≠0时，m=-$\frac{q}{2（p-1）}$，
∴“诚信点”为（-$\frac{q}{2（p-1）}$，-$\frac{q}{p-1}$）．

（3）设二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上的“诚信点”的坐标为（m，2m），
∴am²+bm+1=2m，
∴am²+（b-2）m+1=0，
∵二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“诚信点”，
∴am²+（b-2）m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=（b-2）²-4a=0，
∴（b-2）²=4a，
∴t=b²+4a=b²+（b-2）²=2（b-1）²+2，
∵-2＜b＜2，
∴-3＜b-1＜1，
∴0＜（b-1）²＜9，
∴2＜2（b-1）²+2＜20，
∴2＜t＜20，
即：t的取值范围为2＜t＜20．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，待定系数法，一元二次方程的根的判别式等知识点；解本题的关键是理解“诚信点”的定义．