Question

10．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点，P是BC上任意一点，且PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求证：DE=DF．

Answer 1

分析 连接AD，易证AF=BE，∠B=∠DAF，即可证明△BED≌△AFD，根据全等三角形对应边相等即可解题．

解答 解：连接AD，

∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴APD=BD，∠B=∠CAD=45°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，△BEP是等腰直角三角形，
∴AF=PE，BE=PF，
∴AF=BE，
在△BED和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠B=∠DAF}\\{BE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△AFD（SAS），
∴DE=DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，本题中求证△BFP≌△AEP是解题的关键，属于中考常考题型．