Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，以点B为圆心，BA长为半径画圆弧交BC于点E，点P在弧AE上，过点P作弧AE的切线，分别交AD、BC于点M、N，若MN恰好平分矩形ABCD的面积，则切线MN的长为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,矩形的性质

专题：

分析：根据题意过BD的中点O弧AE的切线有两条，①E点就是P点，此时MN=EF=3，②根据切线长定理和勾股定理即可求得MN．

解答： 解：①连接BD，过O点作弧AE的切线，则MN恰好平分矩形ABCD的面积，
∵过O、E两点的直线正好是弧AE的切线，切点为E，
∴EF的长就是MN的长，
∵AB=3，
∴EF=3，
∴MN=EF=3；
②过O点作弧AE的另一条切线MN，切点为P，
∵AB是圆的半径，且AD⊥AB，
∴AD是圆B的切线，
∴AM=PM，OP=OE，
∵OE=OF=

1

2

CD=

1

2

AB=

3

2

，
∴OP=

3

2

，
设AM=x，则MP=x，MF=3-x，
在RT△MFO中，（3-x）²+（

3

2

）²=（

3

2

+x）²，
解得，x=1，
∴MF=3-1=2，
∴OM=

MF2+OF2

=

5

2

，
∴MN=2OM=5，
综上，切线MN的长为3或5．
故答案为3或5．

点评：本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，勾股定理的应用以及切线长定理的应用等，过O点可以作两条切线是本题的重点．