Question

把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．

①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm²，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．

Answer 1

1）剪掉的正方形的边长为9 cm；

（2）当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm²．

（3）此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm．

【解析】

解：（1）①设剪掉的正方形的边长为x cm，

则（40－2x）²＝484，

即40－2x＝±22，解得x₁＝31（不合题意，舍去），x₂＝9．

②侧面积有最大值．

设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm²，

则y与x的函数关系式为y＝4（40－2x）x，

即y＝－8x²＋160x，

改写为y＝－8（x－10）²＋800，∴当x＝10时，y_最大＝800．

（2）在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm，

2（40－2x）（20－x）＋2x（20－x）＋2x（40－2x）＝550，

解得x₁＝－35（不合题意，舍去），x₂＝15．

∴剪掉的正方形的边长为15 cm．

答：（1）剪掉的正方形的边长为9 cm；

（2）当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm²．

（3）此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm．

【难度】较难