Question

已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°.

(1)如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；

(2)如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角,判断DE与BF位置关系并证明。

Answer 1

(1)解：延长DE交BF于点G………（1分）

∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°

又∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°

∵∠ABC+∠MBC=180°

∴∠ADC=∠MBC…………（2分）

∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC

∴∠EDC=∠ADC,∠EBG=∠MBC，（3分）

∴∠EDC=∠EBG…………（4分）

∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°

∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°

又∵∠DEC=∠BEG  ∴∠EGB=∠C=90

∴ DE⊥BF……………（5分）

(2)解：连接BD………………（6分）

∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC

∴∠EDC=∠NDC,∠FBC=∠MBC，（7分）

∵∠ADC+∠NDC=180°

又∵∠ADC=∠MBC

∴∠MBC+∠NDC=180°

∴∠EDC+∠FBC=90°………………（8分）

∵∠C=90° ∴∠CDB+∠CBD=90°

∴∠EDC+∠CDB +∠FBC +∠CBD=180°

即∠EDB+∠FBD=180°……………（9分）

∴ DE∥BF……………（10分）