Question

4．如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，则下列结论中：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE．其中正确结论的个数（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．

解答 解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，（①正确）
∠CBD=∠CAE，
∵∠BCA=∠ACG=60°，
在△BCF与△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠CAG}\\{BC=AC}\\{∠BCA=∠ACG}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG=BF，（②正确）；
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF=CG，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE，（③正确）．
故选C．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．