Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S₁；取BE中点E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四边形E₁D₁EF₁，它的面积记作S₂，照此规律作下去，则S₂₀₁₅=

 

．

Answer 1

考点：相似多边形的性质,等腰直角三角形

专题：规律型

分析：先计算出S_△ABC=2，在利用相似三角形的性质计算出S_△CDE=

1

2

，同理可得S_△BEF=

1

2

，则S₁=1，再证明四边形E₁D₁EF₁与四边形EDAF相似，利用相似多边形的性质得

S2

S1

=（

D1E

EF

）²=

1

4

，可计算得S₂=

1

4

，同理可得S₃=（

1

4

）²，然后根据由此规律易得S₂₀₁₅的值．

解答：解：∵∠C=90°，AC=BC=2，
∴S_△ABC=

1

2

×2×2=2，
∵点E为BC的点，ED∥AB，
∴

S△CDE

S△ABC

=（

CE

BC

）²=

1

4

∴S_△CDE=

1

2

，
同理可得S_△BEF=

1

2

，
∴S₁=1，
∵取BE中点E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四边形E₁D₁EF₁，
∴四边形E₁D₁EF₁与四边形EDAF相似，
∴

S2

S1

=（

D1E

EF

）²=

1

4

，
∴S₂=

1

4

，
同理可得S₃=（

1

4

）²，
由此规律可得S₂₀₁₅=（

1

4

）²⁰¹⁴．

故答案为（

1

4

）²⁰¹⁴．

点评：本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比；对应角相等；对应边的比相等；相似多边形面积的比等于相似比的平方．也考查了等腰直角三角形．