Question

已知：线段AB=28cm．
（1）如图1，点P沿线段AB自点A以2cm/秒的速度向点B运动，点P出发2秒后，点Q沿线段BA自点B以3cm/秒的速度向点A运动，问再经过几秒后P、Q相距4cm？
（2）如图2，AO=8cm，PO=4cm，∠POB=60°，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自点B向点A运动，设点P、Q运动的时间为t（秒）．①当t=

 

时，∠AOP=90°；②假若点P、Q两点能相遇，求点Q运动的速度．

附加题：
如上图2，AO=8cm，PO=4cm，∠POB=60°，点P绕着点O以x度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自点B以ycm/秒的速度向点A运动，当点Q到达点A时，∠POQ恰好等于90°，则x：y=

 

．

Answer 1

考点：一元一次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）可设再经过x秒后P、Q相距4cm，根据等量关系：速度和×时间=路程和，列方程求解即可；
（2）①根据时间=∠AOP的度数÷点P绕着点O逆时针旋转的速度，列式计算即可求解；
②由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解；
附加题：分两种情况：①当P点再旋转90°-60°=30°时；②当P点再旋转180°-60°+90°=210°时；分别表示出P、Q两点的运动时间，联立方程求得答案即可．

解答：解：（1）设再经过ts后，点P、Q相距4cm，
①P、Q未相遇前相距4cm，依题意可列
2（t+2）+3t=28-4，解得，t=4，
②P、Q相遇后相距4cm，依题意可列
2（t+2）+3t=28+4，解得，t=

28

5

，
答：经过4s或

28

5

s后，点P、Q相距4cm．
（2）①当∠AOP=90°时，t=

90-60

60

=0.5s或t=

180-60+90

60

=3.5s；
②点P，Q只能在直线AB上相遇，则点P旋转到直线AB上的时间为

120

60

=2s
或

120+180

60

=5s，
设点Q的速度为ym/s，
当2秒时相遇，依题意得，2y=28-4，解得y=12
当5秒时相遇，依题意得，5y=28-12，解得y=3.2
答：点Q的速度为12cm/s或3.2cm/s．
附加题：
由题意得：
①当P点再旋转90°-60°=30°时，

30

x

=

28

y

则x：y=15：14；
②当P点再旋转180°-60°+90°=210°时，

210

x

=

28

y

，
则x：y=15：2．
综上所知x：y=15：14或15：2．

点评：此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是熟练掌握速度、路程、时间的关系．