Question

关于x的二次函数y=ax²+bx+c图象如图所示，若OA=OB，则：①a-2b+4c＜0，②c-4b＜0，③0＜a＜1，三个结论中成立的是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、③
• D、①②③

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：观察图象得x=

1

2

时，y＜0，即

1

4

a-

1

2

b+c＜0，则可对①进行判断；
先得到A（c，0），再根据二次函数图象上点的坐标特征得到ac²+bc+c=0，且-2＜c＜-1，变形得到a=-

b+1

c

，再由对称轴的位置得到2a+b＜0，消去a得-

2b+2

c

+b＜0，可解得b＞

2

c-2

，所以-

4

3

＜b＜-

1

2

，于是可对②进行判断；
由于c=-

b+1

a

，-2＜c＜-1，则-2＜-

b+1

a

＜-1，变形后有b＞a-1，加上b＜0，所以a-1＜0，则可对③进行判断．

解答：解：∵x=

1

2

时，y＜0，
∴

1

4

a-

1

2

b+c＜0，即a-2b+4c＜0，所以①正确；
∵B（0，c），OA=OB，
∴A（c，0），
∴ac²+bc+c=0，-2＜c＜-1，
∴ac+b+1=0，
∴a=-

b+1

c

∵1＜-

b

2a

＜2，
∴2a+b＜0，
∴-

2b+2

c

+b＜0，
∴b＞

2

c-2

，
而-2＜c＜-1，
∴-

4

3

＜b＜-

1

2

，
∴c-4b＞0，所以②错误；
∵c=-

b+1

a

，
∴-2＜-

b+1

a

＜-1，
∴-2a＜-b-1＜-a，
∴b＞a-1，
而b＜0，
∴a-1＜0，
∴0＜a＜1，所以③正确．
故选B．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．