Question

10．已知实数a，b满足（a+1）²=1-2（a+1），2（b+1）=1-（b+1）²，且a≠b．求b$\sqrt{\frac{b}{a}}$+a$\sqrt{\frac{a}{b}}$的值．

Answer 1

分析 首先把（a+1）²=1-2（a+1），2（b+1）=1-（b+1）²化为（a+1）²+2（a+1）-1=0，（b+1）²+2（b+1）-1=0，用根与系数的关系求出a+b=-4，ab=2，再把b$\sqrt{\frac{b}{a}}$+a$\sqrt{\frac{a}{b}}$变成$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{\sqrt{ab}}$，然后把前面的关系式代入即可求出代数式的值．

解答 解：∵实数a，b满足（a+1）²=1-2（a+1），2（b+1）=1-（b+1）²，
∴实数a，b满足（a+1）²+2（a+1）-1=0，（b+1）²+2（b+1）-1=0，
∴实数（a+1）、（b+1）是方程x²+2x-1=0的两根．
由根与系数的关系可知a+1+b+1=-2，（a+1）（b+1）=-1，
∴a+b=-4，ab=2，
∴原式=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{\sqrt{ab}}$=$\frac{16-4}{\sqrt{2}}$=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，二次根式的化简，解题的关键是不要直接求根，而是要利用根与系数的关系，代入求值．