Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质就可以得出AB=BC=AC，∠BAC=∠C=60°，就可以得出△ADC≌△BEA；
（2）由△ADC≌△BEA就可以得出∠DAC=∠EBA，AD=BE．既可以得出∠BPQ=60°，就可以求出PB的值，进而求出BE的值而得出结论

解答：解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠C=∠BAE=60°，-
在△ADC与△BEA中，

AC=BA ∠C=∠BAC CD=AE

，
∴△ADC≌△BEA（SAS）；

（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠DAC=∠EBA，AD=BE．
∵∠BPQ=∠BAP+∠ABP，
∴∠BPQ=∠BAP+∠DAC=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°．
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ．
∵PQ=4，
∴BP=8．
∵PE=1，
∴BE=BP+PE=9，
∴AD=BE=9．
答：AD=9．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．