Question

3．某房间的地面由三种正多边形的地砖铺成，且每-个顶点处三种正多边形地砖各有一块，设这三种多边形地砖的边数分别是x、y、z，求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$的值．

Answer 1

分析 根据这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和等于360°，得出$\frac{（x-2）×180°}{x}$+$\frac{（y-2）×180°}{y}$+$\frac{（z-2）×180°}{z}$=360°，再化简整理即可．

解答 解：设这三种多边形地砖的边数分别是x、y、z，
∵某房间的地面由三种正多边形的地砖铺成，且每-个顶点处三种正多边形地砖各有一块，
∴$\frac{（x-2）×180°}{x}$+$\frac{（y-2）×180°}{y}$+$\frac{（z-2）×180°}{z}$=360°，
∴1-$\frac{2}{x}$+1-$\frac{2}{y}$+1-$\frac{2}{z}$=2，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查了平面镶嵌，解决本题的关键是理解多个多边形镶嵌的条件是：一个顶点处的内角和等于一个周角．