Question

2．△ABC中，AB=AC，AF⊥BC于点F，AD平分∠CAF，∠ADC=30°，BC=8，S_△BCD=18，求BD的长．

Answer 1

分析 作C关于直线AD的对称点E，过C作CH⊥BD于H，连接AE，BE，CE，DE，根据线段垂直平分线的性质得到AE=AC，DC=DE，于是得到∠CAD=∠EAD，∠ADE=∠ADC=30°，得到点在直线AF上，由于AF垂直平分BC，于是得到BE=CE，根据DE=DC，∠CDE=∠ADE+∠ADC=60°，推出△CDE是等边三角形，得到点E是△BCD的外心，于是得到∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CED=30°，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．

解答 解：作C关于直线AD的对称点E，过C作CH⊥BD于H，连接AE，BE，CE，DE，
在△AEG与△ACG中，$\left\{\begin{array}{l}{EG=CG}\\{∠AGE=∠AGC=90°}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△ACG，
∴AE=AC，
同理：DC=DE，
∴∠CAD=∠EAD，∠ADE=∠ADC=30°，
∴点E在直线AF上，∵AF垂直平分BC，
∴BE=CE，
∵DE=DC，∠CDE=∠ADE+∠ADC=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CE，∴点E是△BCD的外心，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CED=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=4，
∵S_△BCD=18，
∴$\frac{1}{2}$BD•CH=18，即$\frac{1}{2}$BD•4=18，
∴BD=9．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．