Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：
①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 由条件可证明△ACD≌△AED，从而可判断①、④正确；利用直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；利用线段垂直平分线的判定可判断⑤；从而可得出答案．

解答 解：
∵DE⊥AB，
∴∠C=∠DEA=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠EDA=∠CDA，
∴DA平分∠CDE，AC=AE
故①正确；
∵AB=AE+BE，且AC=AE，
∴AC+BE=AB；
故④正确；
∵AE=AB，DE=DC，
∴A、D都在线段CD的垂直平分线上，
∴AD是线段CE的垂直平分线，
故⑤正确；
∵∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，
∴∠BAC=∠BDE，
故②正确；
若DE平分∠ADB，则E应为AB中点，由条件无法得出，
故③不正确；
综上可知正确的结论有：①②④⑤，共四个，
故选C．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．