Question

6．如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，⊙O是△ABC的内切圆，同时也是△DEF的外接圆．若AB=1cm，则DE=$\frac{1}{2}$cm．

Answer 1

分析 设AB与⊙O相切于M，连接OB，OM，得到OM⊥AB，由⊙O是等边△ABC的内切圆和等边三角形的性质，求出圆的半径，连接OD，过O作ON⊥OE于N，由⊙O是等边△DEF的外接圆．解直角三角形即可得到结论．

解答 解：设AB与⊙O相切于M，连接OB，OM，
∴OM⊥AB，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆
∴∠ABO=30°，OA=OB，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
∴OM=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
连接OD，过O作ON⊥OE于N，
∵⊙O是等边△DEF的外接圆．
∴OD=OM=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，∠ODN=30°，
∴DN=$\frac{1}{4}$，
∴DE=2DN=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，等边三角形的性质，熟练掌握三角形的内切圆和外接圆的性质是解题的关键．