Question

【题目】阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点D，E分别在AB，BC上，且∠CDE=90°．当BE=2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由．

小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将解决问题．

请回答：

（1）小明发现的与CD相等的线段是 ．

（2）证明小明发现的结论；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（3）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，BD=2DC，点E在AD上，且∠BEC=135°，求的值．

Answer 1

【答案】（1）DE（2）证明见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）直接写出答案；

（2）先判断出∠ADC=ADC=∠FEDFED，在判断出FE=AD，即可判断出△FEDFED≌△ADCADC即可；

（3）先判断出∠FBE=FBE=∠GECGEC，进而得出△BFEBFE∽△EGC，得出，再判断出FE=2EG，即可得出结论．

试题解析：（1）DE；

故答案为：DE；

（2）证明：作EF⊥AB，垂足为F．

则∠BFE=∠DFE=90°═∠A═∠CDE．

∵∠ADC+∠CDE=∠ADE=∠DFE+∠FED，

∴∠ADC=∠FED．

∵∠BFE=90°，∠B=30°，

∴BE=2FE．

∵BE=2AD，

∴FE=AD．

在△FED和△ADC中，

∴△FED≌△ADC．

∴DE=CD

（3）如图3，

过点E作BC的平行线，与AB、AC分别相交于点F、G．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°．

∵FG∥BC，

∴∠AFG=∠ABC=∠ACB=∠AGF=45°，∠BFE=135°=∠EGC．

∴AF=AG．BF=GC．

∵∠GEC+∠CEB=∠GEB=∠EFB+∠FBE，

∴∠FBE=∠GEC

∴△BFE∽△EGC．

∴，

∵FG∥BC，

∴△AFE∽△ABD，△AFG∽△ADC，

∴，

∴

∵BD=2DC，

∴FE=2EG，

∴，

∴，

∴