Question

3．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，连接MN，则△AMN的周长为5．

Answer 1

分析 作辅助线，构建30°角的直角三角形，证明Rt△BDQ≌Rt△CDP得DQ=DP，再证明Rt△DQM≌Rt△DPK和△MDN≌△KDN，得MN=KN和QM=PK，利用三角形的周长公式代入可得结果．

解答 解：延长CD、BD，分别交AB于Q，交AC于P，在AC上取一点K，使KP=QM，连接DK，
∵△BDC是顶角为120°的等腰三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BPC=∠CQB=90°，
∴PC=$\frac{1}{2}$BC，BQ=$\frac{1}{2}$BC，
∴PC=BQ=AQ=AP=$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$，
在Rt△BDQ和Rt△CDP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{BQ=CP}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDQ≌Rt△CDP（HL），
∴DQ=PD，
同理得Rt△DQM≌Rt△DPK，
∴DM=DK，∠QDM=∠PDK，
∵∠BDQ=60°，∠MDN=60°，
∴∠QDM+∠NDP=60°，
∴∠PDK+∠NDP=60°，
即∠NDK=60°，
∴∠NDK=∠MDN=60°，
∵ND=ND，
∴△MDN≌△KDN，
∴MN=NK=NP+PK，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AP+AQ=$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{2}$=5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定及30°的直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定是关键，尤其是直角三角形的特殊判定方法，本题应用了两次证明全等，要熟练掌握．