Question

12．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h₁、h₂，连接AM，利用S_△ABC=S_△ABM+S_△ACM，可以得出结论：h=h₁+h₂．
类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h₁、h₂之间的数量关系并证明你的结论．
拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l₁：y=$\frac{3}{4}$x+3，l₂：y=-3x+3，
若l₂上一点M到l₁的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标．

Answer 1

分析 类比探究：结论：h=h₁-h₂．连接OA．利用三角形面积公式根据S_△ABC=S_△ABM-S_△ACM，代入化简即可解决问题．
拓展应用：首先证明AB=AC，分两种情形利用（1）中结论，列出方程即可解决问题．

解答 解：类比探究：结论：h=h₁-h₂．
理由：连接OA，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$AC•h，
S_△ABM=$\frac{1}{2}$AB•ME=$\frac{1}{2}$AB•h₁，
S_△ACM=$\frac{1}{2}$AC•MF=$\frac{1}{2}$AC•h₂，．
又∵S_△ABC=S_△ABM-S_△ACM，
∴$\frac{1}{2}$AC•h=$\frac{1}{2}$AB•h₁-$\frac{1}{2}$AC•h₂．
∵AB=AC，
∴h=h₁-h₂．

拓展应用：在y=$\frac{3}{4}$x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，
则：A（-4，0），B（0，3），同理求得C（1，0），
OA=4，OB=3，AC=5，
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
所以AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．                                    
设点M的坐标为（x，y），
①当点M在BC边上时，由h₁+h₂=h得：
OB=1+y，y=3-1=2，把它代入y=-3x+3中求得：x=$\frac{1}{3}$，
∴M（$\frac{1}{3}$，2）；                                        
②当点M在CB延长线上时，由h₁-h₂=h得：
OB=y-1，y=3+1=4，把它代入y=-3x+3中求得：x=-$\frac{1}{3}$，
∴M（-$\frac{1}{3}$，4）．
综上所述点M的坐标为（$\frac{1}{3}$，2）或（-$\frac{1}{3}$，4）．

点评 本题考查一次函数的应用、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是相交添加常用辅助线，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．