Question

17．已知：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，点F为CD的中点，连接AF，EE．
（1）若CE=CD，∠ABC=45°，AE=3，求BC的长；
（2）求证：①AF=EF；②∠DAF=$\frac{1}{2}$∠AFE．

Answer 1

分析 （1）首先证明△AEB是等腰直角三角形，求出AB的长，根据CD=AB=CE即可解决问题．
（2）①如图2中，延长AF交BC的延长线于H．由△ADF≌△HCF，推出AF=HF，由∠AEH=90°，推出EF=AF=HF即可．②由AD∥CH，推出∠DAF=∠F，由FH=FE，推出∠H=∠FEH，由∠AFE=∠H+∠FEH，即可推出∠DAF=$\frac{1}{2}$∠AFE．

解答 （1）解：如图1中，

∵AE⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠AEB=90°，∠B=∠EAB=45°，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+E{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=CE=3$\sqrt{2}$，
∴BC=CE+EB=3$\sqrt{2}$+3．

（2）证明：①如图2中，延长AF交BC的延长线于H．


∵AD∥CH，
∴∠D=∠FCH，
在△ADF和△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FCH}\\{DF=FC}\\{∠DFA=∠HFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△HCF，
∴AF=HF，
∵∠AEH=90°，
∴EF=AF=HF，
∴AF=EF．

②∵AD∥CH，
∴∠DAF=∠F，
∵FH=FE，
∴∠H=∠FEH，
∵∠AFE=∠H+∠FEH，
∴∠DAF=$\frac{1}{2}$∠AFE．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．