已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+$\frac{1}{4}$x-3交x轴于A.B两点.交y轴于点C.点P是直线AC上的一个动点.过点P作PQ⊥x轴.交抛物线于点Q.连结CQ．设点P的横坐标为m．(1)求直线AC的解析式,(2)是否存在点P.使得△PCQ是∠CPQ为顶角的等腰三角形.若存在.求出m的值,若不存在.请说明理由,(3)连结AQ.若∠AQC为钝角.m的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x-3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线AC上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，连结CQ．设点P的横坐标为m．
（1）求直线AC的解析式；
（2）是否存在点P，使得△PCQ是∠CPQ为顶角的等腰三角形，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）连结AQ，若∠AQC为钝角，m的取值范围是-4＜m＜0．

分析（1）由抛物线解析式可求得A、C坐标，利用待定系数法可求得直线AC解析式；
（2）可用m分别表示出P、Q的坐标，则可用m表示出PQ、PC的长，由条件可得到关于m的方程，可求得m的值；
（3）以AC为直径作圆，当∠AQC为钝角时，则点Q应在圆内，结合图象可求得点Q的位置，可求得m的取值范围．

解答解：
（1）在y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x-3中，
令y=0可得：0=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x-3，解得x=-4或x=3，
∴A（-4，0），B（3，0），
令x=0可得y=-3，
∴C（0，-3），
设直线AC解析式为y=kx+b，
把A、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-3；
（2）∵P点在直线AC上，点Q在抛物线上，且P点横坐标为m，
∴P（m，-$\frac{3}{4}$m-3），Q（m，$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$m-3），
∴PQ=|$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$m-3-（-$\frac{3}{4}$m-3）|=|$\frac{1}{4}$m²+m|，
∵C（0，-3），
∴PC=$\sqrt{{m}^{2}+[-\frac{3}{4}m-3-（-3）]^{2}}$=$\frac{5}{4}$|m|，
当△PCQ是∠CPQ为顶角的等腰三角形时，则有PC=PQ，
∴|$\frac{1}{4}$m²+m|=$\frac{5}{4}$|m|，即$\frac{1}{4}$m²+m=±$\frac{5}{4}$m，
当$\frac{1}{4}$m²+m=$\frac{5}{4}$m时，解得m=0或m=1，
若m=0，则P、C重合，舍去，
∴m=1，
当$\frac{1}{4}$m²+m=-$\frac{5}{4}$m时，解得m=-6或m=0（舍去），
∴m=-6，
综上可知存在满足条件的点P，此时m的值为1或-6；
（3）以AC为直径作圆，如图，

当∠AQC为钝角时，则可知点Q在圆内，
∴点Q在线段AC下方的抛物线上，
∴-4＜m＜0，
故答案为：-4＜m＜0．