Question

19．等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在直线AC上，2CE=AC，AD=6，BE=5，则△ABC的面积是16或$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD是底边BC的中线，从而得到点G为△ABC的重心，从而不难求得DG，BG的长，再根据勾股定理求得BD的长，最后根据三角形面积公式求解即可．

解答 解：如图1，∵在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，
∴AD是底边BC的中线，
∵2CE=AC，
∴G为△ABC的重心，
∵AD=6，BE=5，
∴DG=$\frac{1}{3}$AD=2，BG=$\frac{2}{3}$BE=3$\frac{1}{3}$，
∴在直角△BDG中，由勾股定理得到：BD=$\sqrt{B{G}^{2}-D{G}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，BC=2BD=$\frac{16}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AD=16．
如图2，∵在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，
∴AD是底边BC的中线，
∵2CE=AC，
∴G为△ABC的重心，
∵AD=6，BE=5，
∴DG=$\frac{1}{3}$AD=2，BG=$\frac{2}{3}$BE=3$\frac{1}{3}$，
∴在直角△BDG中，由勾股定理得到：BD=$\sqrt{B{G}^{2}-D{G}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，BC=2BD=$\frac{16}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AD=16．
故答案为：16或$\frac{18}{5}$．

点评 此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的综合运用．本题的难点是得到BC的长．