Question

6．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为（1+$\sqrt{2}$）a．

Answer 1

分析 连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为a，则BF=2a-a=a，再由切割线定理可得BF²=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．

解答 解：如图，连接OE、OF，
∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴OECF是正方形，
∵由△ABC的面积可知$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AC×OE+$\frac{1}{2}$×BC×OF，
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$×2a=EC=CF，BF=BC-CF=a，GH=2OE=2a，
∵由切割线定理可得BF²=BH•BG，
∴a²=BH（BH+2a），
∴BH=（-1+$\sqrt{2}$）a或BH=（-1-$\sqrt{2}$）a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴$\frac{OE}{OH}$=$\frac{BD}{BH}$，
∴BH=BD，CD=BC+BD=2a+（-1+$\sqrt{2}$）a=（1+$\sqrt{2}$）a，
故答案为：（1+$\sqrt{2}$）a．

点评 本题主要考查了切线的性质，本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题．