Question

如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．
（1）证明△PAE∽△CDP；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，设AP=x，BE=y，求y与x的函数关系式及y的取值范围；
（3）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质，可得∠A与∠D的关系，根据等角的余角相等，可得∠AEP=∠DPC，根据相似三角形的判定，可得答案；
（2）根据相似三角形的性质，可得比例，根据比例的性质，可得函数解析式，根据函数的性质，可得最小值，根据点E在E在AB上运动，可得最大值；
（3）根据相似三角形的性质，可得AP•DP=AE•DC，根据相似三角形的判定，可得△QAE∽△CDQ，根据相似三角形的性质，可得AQ•DQ=AE•DC，根据等量代换，可得AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△PAE∽△CDP；
（2）∵AP=x，BE=y，
∴DP=3-x，AE=2-y．
∵△PAE∽△CDP，
∴

AE

DP

=

AP

CD

，
即

2-y

3-x

=

x

2

，
∴y=

1

2

x2-

3

2

x+2．
∵y=

1

2

x2-

3

2

x+2=

1

2

(x-

3

2

)2+

7

8

，
∴当x=

3

2

时，y有最小值，y的最小值为

7

8

，
又∵点E在AB上运动（显然点E与点A不重合），且AB=2，
∴y＜2．
综上所述，y的取值范围是

7

8

≤y＜2；
（3）存在，理由如下：
如图，假设存在这样的点Q，使得QC⊥QE，
由（1）得：△PAE∽△CDP，
∴

AE

DP

=

AP

CD

，
∴AP•DP=AE•DC，
∵QC⊥QE，∠D=90°，
∴∠AQE+∠DQC=90°，∠DQC+∠DCQ=90°，
∴∠AQE=∠DCQ．
又∵∠A=∠D=90°，
∴△QAE∽△CDQ，
∴

AQ

DC

=

AE

DQ

，
∴AQ•DQ=AE•DC，
∴AQ•DQ=AP•DP，
即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ²=3AP-AP²，
∴AP²-AQ²=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）．
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3．
又∵AP≠AQ，
∴AP≠

3

2

，
即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在，故当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．

点评：本题考查了相似形综合题，利用了相似三角形的判定与性质，等量代换是解（3）的关键，题目稍有难度，需分类讨论．