Question

3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（-3，0）、B（0，3），AD⊥BC于D交y轴于点E（0，1）．

（1）求证：AE=BC；OE=OC；
（2）如图1，将线段CB绕点C顺时针旋转90°后得线段CF，连接BF，求△BCF的面积；
（3）如图2，点P位y轴正半轴上一动点，点Q在第三象限内，QP⊥PC，且QP=PC，过点Q作QR垂直于x轴于R，求$\frac{OC-QR}{OP}$的值．

Answer 1

分析 （1）先证明∠OAE=∠EBD，再利用“ASA”证明△AOE≌△BOC，从而得到AE=BC，OE=OC；
（2）先利用勾股定理计算出BC=$\sqrt{10}$，再根据旋转的性质得CF=CB=$\sqrt{10}$，∠BCF=90°，则△BCF为等腰直角三角形，然后利用三角形面积公式计算△BCF的面积；
（3）作PM⊥QR于M，如图2，易得四边形PMRO为矩形，则MR=PO，再证明∠QPM=∠OPC，则可利用“AAS”证明△QPM≌△CPO，所以QM=OC，然后计算$\frac{OC-QR}{OP}$的值．

解答 （1）证明：∵A（-3，0）、B（0，3），
∴OA=OB=3，
∵AD⊥BC，
∴∠BDE=90°，
∵∠BED=∠AOE，
∴∠OAE=∠EBD，
在△AOE和△BOC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OBC}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠BOC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOC，
∴AE=BC，OE=OC；
（2）解：∵OC=OE=1，
∴BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵线段CB绕点C顺时针旋转90°后得线段CF，
∴CF=CB=$\sqrt{10}$，∠BCF=90°，
∴△BCF为等腰直角三角形，
∴△BCF的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5；
（3）解：作PM⊥QR于M，如图2，
∵QR⊥x轴，PM⊥QR，
∴四边形PMRO为矩形，
∴MR=PO，
∵QP⊥PC，
∴∠CPQ=90°，∠QPO+∠OPC=90°，
而∠QPO+∠QPM=90°，
∴∠QPM=∠OPC，
在△QPM和△CPO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠POC}\\{∠QPM=∠CPO}\\{PQ=PC}\end{array}\right.$，
∴△QPM≌△CPO，
∴QM=OC，
∴$\frac{OC-QR}{OP}$=$\frac{QM-QR}{OP}$=$\frac{MR}{OP}$=$\frac{OP}{OP}$=1．

点评 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形的性质．