Question

如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，求证：点D是AC的黄金分割点．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：证明题

分析：欲证点D是AC的黄金分割点，就是证明AC：AD=AD：DC，根据角平分线的性质以及已知条件推知∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，所以△ACB∽△BCD；然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC：AD=AD：DC；最后由等腰三角形的性质得到：BC=BD=DA，代换即可．

解答：解：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，
所以∠ABC=∠C=72°，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°
∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，
∴△ACB∽△BCD，
∴AC：BC=BC：DC；
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∴AC：AD=AD：DC；
即点D是AC的黄金分割点．

点评：本题考查了黄金分割点的概念，等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质．解答该题的关键是根据等腰三角形的性质推知BC=BD=DA．