Question

5．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是（　　）

• A． ${（{\sqrt{2}}）^{2014}}$
• B． ${（{\sqrt{2}}）^{2015}}$
• C． 2²⁰¹⁴
• D． 2²⁰¹⁵

Answer 1

分析 设等腰直角三角形一个直角边为1，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的$\sqrt{2}$倍，可以发现n个△，直角边是第（n-1）个△的斜边长，即可求出斜边长

解答 解：∵等腰直角三角形一个直角边为1，
∴等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的$\sqrt{2}$倍．
第一个三角形（也就是Rt△ABC）的斜边长：1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$；
第二个三角形（也就是Rt△ACD），直角边是第一个三角形的斜边长，所以它的斜边长：$\sqrt{2}×\sqrt{2}=（\sqrt{2}）^{2}$；
第三个三角形（也就是Rt△ADE），直角边是第二个三角形的斜边长，所以它的斜边长：$\sqrt{2}×（\sqrt{2}）^{2}=（\sqrt{2}）^{3}$；
…
第n个三角形，直角边是第（n-1）个三角形的斜边长，其斜边长为：$（\sqrt{2}）^{n}$．
∴第2015个等腰直角三角形的斜边长是：${（{\sqrt{2}}）^{2015}}$．
故选B．

点评 此题主要考查学生对等腰直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是通过认真分析，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的$\sqrt{2}$倍，从中发现规律．此题有一定的拔高难度，属于中档题．