Question

12．如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c过点A（4，0），B（-4，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于C、D两点．请问是否存在这样的点P，使PD=2CD？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决．
（2）设P（m，$\frac{1}{2}$m-2），其中-4＜m＜4，则C（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2），PD=2-$\frac{1}{2}$m，CD=|-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2|，分两种情形①当点C在x轴上方时，CD=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2，由PD=2CD，得2-$\frac{1}{2}$m=2（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2），②当点C在x轴下方时，CD=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2，由PD=2CD，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{-4+4b+c=0}\\{-4-4b+c=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2．

（2）∵A（4，0），B（-4，-4），
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
设P（m，$\frac{1}{2}$m-2），其中-4＜m＜4，则C（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2），PD=2-$\frac{1}{2}$m，CD=|-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2|，
①当点C在x轴上方时，CD=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2，由PD=2CD，
得2-$\frac{1}{2}$m=2（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2），解得m=-1或4（舍弃），
∴P（-1，-$\frac{5}{2}$）．
②当点C在x轴下方时，CD=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2，由PD=2CD，得2-$\frac{1}{2}$m=2（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2），解得m=-3或4（舍弃），
∴P（-3，-$\frac{7}{2}$），
综上所述，点P的坐标为（-1，-$\frac{5}{2}$）或（-3，-$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查待定系数法确定函数解析式、二次函数的图象等知识，解题的关键是学会用方程的思想转化问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．