Question

如图，E是正方形ABCD边CD的中点，AE与BD交于点O，则tan∠AOB=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质,锐角三角函数的定义

专题：

分析：连接AC交BD于F，设正方形的边长为2，则DE=1，由正方形的性质可知：DE∥AB，所以△EOD∽△AOB，根据勾股定理可求出AE和BD的长，由相似三角形的性质可得AO和OE的比值，进而求出AO，根据正方形的对角线互相平分可求出AF，进而求出tan∠AOB的值．

解答：解：连接AC交BD于F，设正方形的边长为2，
∵E是正方形ABCD边CD的中点，
∴则DE=1，
∴AE=

22+12

=

5

，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DE∥AB，AC⊥BD于F，
∴△EOD∽△AOB，
∴DE：AB=EO：AO=1：2，
∴AO=

2 5

3

，
∵AC=

22+22

=2

2

，
∴AF=

1

2

×2

2

=

2

，
∴OF=

AO2-AF2

=

2

3

，
∴tan∠AOB=

AF

OF

=

2

2 3

=3，
故答案为：3．

点评：本题考查了正方形的性质、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，题目的综合性很强，难度中等．