Question

17．如图，平面直角坐标系中，已知点A（a-b，a+b），B（a，0），且$\sqrt{a-b-3}$+（a-2b）²=0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直线DB交y轴于点P．
（1）求证：AO=AB；
（2）求证：△AOC≌△ABD；
（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？

Answer 1

分析 （1）先根据非负数的性质求出a、b的值，作AE⊥OB于点E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据∠CAD=∠OAB，得出∠OAC=∠BAD，再由SAS定理即可得出△AEO≌△AEB；
（3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP的长度不变，故可得出结论．

解答 （1）证明：∵$\sqrt{a-b-3}$+（a-2b）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{a-2b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴A（3，9），B（6，0），
作AE⊥OB于点E，
∵A（3，9），B（6，0），
∴OE=3，BE=6-3=3，
在△AEO与△AEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠AEO=∠AEB=90°}\\{OE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AEB，
∴AO=AB；

（2）证明：∵∠CAD=∠OAB，
∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC，即∠OAC=∠BAD，
在△AOC与△ABD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA=AB}\\{∠OAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△ABD（SAS）；

（3）解：点P在y轴上的位置不发生改变．
理由：设∠AOB=∠ABO=α，
∵由（2）知，△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOB=α，
∵OB=2，∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，∠POB=90°，
∴OP长度不变，
∴点P在y轴上的位置不发生改变．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．