Question

10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，易证△CAO≌△CDO（SAS），由全等三角形的性质可得∠CDO=∠CAO=90°，即CD⊥OD，进而可证明CD是⊙O的切线．
（2）过点O作OE⊥BD，垂足为E，首先利用勾股定理可求出OC的长，再证明△OEB∽△CAO，由相似三角形的性质可求出BE的长，进而可求出BD的长．

解答 解：
（1）证明：如图，连接OD．
∵BD∥CO，
∴∠DBO=∠COA，∠ODB=∠COD．
在☉O中，OB=OD，
∴∠DBO=∠ODB．
∴∠COA=∠COD．
在△CAO和△CDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠COA=∠COD}\\{CO=CO}\end{array}\right.$
∴△CAO≌△CDO（SAS）．
∴∠CDO=∠CAO=90°．
即  CD⊥OD．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．  
（2）解：如图，过点O作OE⊥BD，垂足为E．
在⊙O中，OE⊥BD，
∴BE=DE．
在Rt△CAO中，OC=$\sqrt{32+22}$=$\sqrt{13}$．
∵∠COA=∠OBE，∠CAO=∠OEB，
∴△OEB∽△CAO．
∴$\frac{OA}{BE}$=$\frac{CO}{OB}$．
∴$\frac{2}{BE}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴BE=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$．
∴BD=2BE=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了切线的判断和性质、全等三角形的判断和性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．