Question

9．如图，直线y=$\frac{2}{3}$x+4与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，则PC+PD的最小值为（　　）

• A． 2+$\sqrt{13}$
• B． 5
• C． 2$\sqrt{13}$
• D． 6

Answer 1

分析 作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，利用勾股定理即可求出PC+PD的最小值．

解答 解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图．
令y=$\frac{2}{3}$x+4中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y=$\frac{2}{3}$x+4中y=0，则$\frac{2}{3}$x+4=0，解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2），
∴PC+PD的最小值=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
故选B．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出D'点的坐标是关键．