Question

11．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，又在Rt△DEF中，∠DEF=90°，较长的直角边EF与BC完全重合，即Rt△DEF的顶点E、F分别与Rt△ABC的顶点B、C重合．现在，他让Rt△ABC固定不动，将Rt△DEF通过变换使斜边DF（或所在的直线）经过Rt△ABC的直角顶点A．
（1）如图2，将Rt△DEF绕点F按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜180°），使斜边DF经过点A，直角边EF交AB于点G，若DE=3，求重叠部分（即△ACG）的面积
（2）如图3，将Rt△DEF绕点E按逆时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜180°），使斜边DF经过点A，若α=∠F，求tan∠α的值；
（3）如图4，将Rt△DEF沿射线BC方向平移m个单位长度，使斜边DF的反向延长线经过点A，若△ADE∽△AEF，求m及tan∠F的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数得出AG的长度，再根据三角形的面积公式解答即可；
（2）过A作AG⊥BC于G，BH⊥DF于H，得出AG的长度，再根据三角函数解答即可；
（3）过A作AQ⊥BC于Q，根据相似三角形的性质解答即可．

解答 解（1）BC=EF=10，
∴tan∠DFE=$\frac{3}{10}$，
即$\frac{AG}{AC}=\frac{3}{10}$，
∴AG=$\frac{12}{5}$，S_△AGC=$\frac{1}{2}×\frac{12}{5}×8=\frac{48}{5}$，
（2）过A作AG⊥BC于G，BH⊥DF于H，由面积得AG=$\frac{24}{5}$，如图3，

∴BH=$\frac{24}{5}$，
在Rt_△FBH中，FH=$\sqrt{1{0}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}=\frac{2\sqrt{481}}{5}$，
∴tanα=$\frac{BH}{FH}=\frac{12\sqrt{481}}{481}$；
（3）过A作AQ⊥BC于Q，如图4：

∵△ADE∽△AEF，
∴∠AED=∠F=∠QAE，
∴△AQE∽△FQA，设QE=x，
∴即AQ²=QE•QF，
∴$（\frac{24}{5}）^{2}=x（x+10）$，
∴25x²+250x-576=0，
∴${x}_{1}=\frac{-25+\sqrt{1201}}{5}$，${x}_{2}=\frac{-25-\sqrt{1201}}{5}$（舍），
∴$m=BQ+QE=\frac{\sqrt{1201}-7}{5}$，tan∠F=tan∠QAE=$\frac{QE}{AQ}=\frac{-25+\sqrt{1201}}{24}$．

点评 此题考查几何变换问题，关键是根据三角函数得出AG的长度和相似三角形的性质进行分析解答．