Question

如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；
请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．

Answer 1

考点：矩形的性质,等边三角形的判定与性质,作图—应用与设计作图

专题：

分析：如图，以MN为边容易作出等边三角形，结合等边三角形的性质，连接PE，可证明△MPE≌△MNF，可证明PE∥MF，容易求得S_△PMF=S_△MEF，可求得答案．

解答：解：如图，以MN为边，可作等边三角形PMN；
△PMF的面积为400

3

．（求解过程如下）．
连接PE，
∵△MEF和△PMN为等边三角形，
∴∠PMN=∠NMF=∠MFE=60°，MN=MP，NE=NF，
∴∠PME=∠NMF，
在△MPE和△MNF中，

PM=PN ∠PME=∠NMF ME=MF

，
∴△MPE≌△MNF（SAS），
∴∠MEP=∠MFE=60°，
∴∠PEN=60°，
∴PE∥MF，
∴S_△PMF=S_△MEF=

3

4

EF²=400

3

．

点评：本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质和判定，利用全等证得PE∥MF，得到S_△PMF=S_△MEF是解题的关键．